Peníze i viry se množí exponenciálně. Proč je tedy milionářů méně, než nemocných?

Covid-19 způsobil, že se do našeho slovníků dostávají výrazy dříve málo frekventované. Zjišťujeme, že existují koronaviry, objevujeme rozdíl mezi epidemií a pandemií a často skloňovaným slovem je také reprodukční číslo R. Dnes již všichni vědí, že nákaza se šíří exponenciálně a reprodukční číslo v tom hraje důležitou roli. Ale jak to souvisí s penězi? Ukážeme si, že i když to tak nevypadá, i peníze se nám v bance množí exponenciálně a co nám brání v přeměně na milionáře.

Jak roste počet nakažených?

Nejprve se podívejme na jednoduchý model šíření nemoci. Řekněme, že každý nemocný nakazí dva jiné, dříve zdravé jedince. Na začátku máme jednoho nemocného, který v prvním kroku nakazí dva další. Ve druhém kroku každý z těch dvou nakažených přenese nemoc na další dva, takže máme čtyři nově nakažené. A tak to pokračuje dál a dál.

Toto šíření se dá snadno popsat exponenciální funkcí.

Což se dá zobecnit tak, že počet nově nakažených v n-tém kroku bude

kde N₀ je počet nakažených na začátku (tedy v nultém kroku) a R je reprodukční číslo. A právě reprodukční číslo určuje chování exponenciály. Pokud je vyšší než 1, pak exponenciála roste, naopak pro R menší než 1 exponenciála klesá. A pro R = 1 je konstantní.

Exponenciála roste rychle

Bouřlivé debaty kolem aktuální koronavirové pandemie jsou v zásadě způsobeny tím, že pokud je reprodukční číslo R větší než jednička, exponenciální funkce, která popisuje počet nakažených, roste rychle. Velmi rychle. Popularitu dodává exponenciální funkci anekdota o vynálezci šachu. Ten pěkně napálil svého panovníka, který ho chtěl za vynález této kratochvíle odměnit. Autor hry požádal, aby jako odměnu obdržel šachovnici, na které by bylo jedno obilné zrnko na prvním políčku. Na druhém dvojnásobek, tedy dvě zrnka, na dalším opět dvojnásobek, a tak dále. Legenda neuvádí Podle některých variant příběhu se panovník s problémem vypořádal jednoduše: dekapitací šprýmujícího vynálezce. , jak se panovník s vynálezcem vyrovnal když zjistil, že celkový počet zrn by byl 18 446 744 073 709 551 615 což je číslo mnohonásobně překračující objem dnešní(!) světové produkce obilovin.

Fakt je, že exponenciální růst je velmi rychlý a ze školy si možná pamatujeme, že exponenciála roste rychleji než polynom libovolného stupně. I když to tak třeba na první pohled nevypadá. Když exponenciální funkci 2ⁿ porovnáme například druhou mocninou n², nevypadá to zpočátku přesvědčivě. Druhá mocnina je na počátku (pro n=0) nulová, zatímco exponenciála startuje na jedničce. Druhá mocnina ale tento handicap rychle dožene a pro n=2 jsou hodnoty vyrovnané a pořadí se obrací. Pro n=3 má exponenciála hodnotu 2³ = 8, zatímco 3² = 9.

Stačí však chvilku počkat. V hodnotě n=4 se hodnoty opět vyrovnají a pro vyšší n je již exponenciála vždy vyšší.

Někdo by mohl namítnout, že druhá mocnina je málo. Taková stá mocnina (tedy n¹⁰⁰ roste rychleji. Ale dá se ukázat Důkaz není složitý, ale není jednoduché na něj přijít. Vezměme podíl P(n)/ exp(n) kde P je libovolný polynom a exp exponenciální funkce. A hledáme limitu podílu pro n→∞. Dostaneme neurčitý výraz, na který opakovaně použijeme l’Hospitalovu větu. Zatímco čitatel se nám po několika derivacích vynuluje, exponenciála ve jmenovateli zůstane beze změn. ■ , že i když vezmeme sebevětší mocninu, na exponenciálu je krátká. Vždy existuje hodnota n, pro kterou se exponenciála ujme vedení a už se nenechá předběhnout.

Exponenciála kam se podíváš

Exponenciální funkce popisuje nejen šíření infekčních chorob, ale i řadu dalších jevů. Obrázek podobný tomu prvnímu (o šíření infekce) najdeme i v učebnici fyziky, kde popisuje řetězovou jadernou reakci. Jen místo postaviček najdeme jádra uranu a namísto virů poletují neutrony. Exponenciální funkce popisuje množení virů, bakterií, králíků i lidí.

Proč tedy není Země už dávno přeplněná všemi těmi viry, bakteriemi, králíky a lidmi? Příroda nemá ráda extrémy a při exponenciálním růstu se dříve nebo později začne z různých důvodů reprodukční číslo snižovat. V jaderném reaktoru vyhoří štěpný materiál, králíkům dojde seno. Ani počet nemocných nemůže být vyšší, než je počet lidí na planetě. Exponenciální funkce tedy obvykle popisuje růst velmi přesně, ale pouze za určitých předpokladů. Změna reprodukčního čísla může rychlý růst zpomalit i zrychlit, nebo naopak zvrátit v pokles. Ostatně proto také dnes držíme karanténu.

I úroky nabíhají exponenciálně

Je zajímavé si uvědomit, že exponenciálně se množí také peníze. Když uložíme jednu korunu na účet s desetiprocentním úrokem, budeme mít za rok 1 ×1,1 =1,1 Kč. Za dva roky se nám už budou počítat úroky z úroků, takže dostaneme 1 ×1,1 ×1,1 =1,21 Kč a tak dále. Po uplynutí n let tedy budeme mít na účtu

což nápadně připomíná vzoreček pro počet nově nakažených uvedený výše. Skutečně je to tak: vzoreček pro výpočet budoucí hodnoty má stejný tvar. Naspořenou částku N po uplynutí n roků spočítáme dosazením do vzorečku

kde N₀ je počáteční zůstatek a reprodukční číslo R je úroková sazba zvýšená o jedničku (R = 1 + i). Vzoreček je stejný jako ten, který popisuje počet nově infikovaných pacientů! Neodbytně se však vnucuje otázka: když se peníze množí exponenciálně, stejně jako viry, jak je možné, že jsem každou chvíli nemocný, ale nejsem milionář?

Důvody, proč je jednodušší chytit rýmu, než vydělat na úrocích milion, jsou dva. Prvním důvodem je hodnota reprodukčního čísla. U chřipky nebo dnes populárního Covidu-19 se pohybuje kolem dvojky (pokud nečiníme ochranná opatření typu karantény a podobně), u spalniček se uvádí dokonce hodnota 18. Peníze mají reprodukční číslo velmi blízké jedničce. Za dobrý úrok je dnes považováno jedno procento, což znamená reprodukční číslo R = 1,01. A čím více se reprodukční číslo blíží k jedničce, tím více se exponenciála blíží ke konstantě.

Druhým důvodem je čas. Když matematici nechávají soutěžit funkce, která roste rychleji, na čase (na počtu kroků n) jim nezáleží. I s malým reprodukčním číslem exponenciála po nějaké době dosáhne astronomických hodnot. Jestli to bude pro n rovné 10 nebo 10 000 000, na tom matematikům až tak moc nesejde. Nám však ano. Čas jsou peníze a zde je to hodně znát.

Zatímco běžná respirační nemoc potřebuje k infikování další skupiny nešťastníků několik dnů, vklad na účtu se zvýší o roční úrok za 12 měsíců. Když jeden nemocný infikuje své okolí během jednoho týdne, pak za rok (pokud není nařízena karanténa) tady máme 52. generaci nových pacientů. A tento rozdíl je již znát.

Autor: Petr Kielar