O efektivním úroku, Bernoulliho výpočtu a Eulerově číslu

Pojem efektivní úrok je poměrně dobře známý. Méně se ale ví, že problémem efektivního úroku se kdysi zabývali i vědci zvučných jmen. Výsledkem jejich bádání však nebyl výhodný bankovní produkt, ale Eulerovo číslo e, jehož hodnota je přibližně 2,718. Podívejme se, jak toto veledůležité číslo souvisí s úročením.

Když se počítají úroky z úroků

Pro začátek trocha opakování. Když ukládáme peníze za nějaký dohodnutý úrok, nebo když si naopak peníze půjčujeme, obvykle se zajímáme nejen o úrokovou sazbu, ale i o frekvenci úročení. Úroková sazba je zpravidla sjednána jako roční (p. a. neboli per annum), ale důležité je také znát, jak často se úrok připisuje k zůstatku. Úroky se počítají ze zůstatku, takže po přičtení úroků k zůstatku začínají nabíhat úroky z úroků.

Například při úrokové sazbě 12 % p. a. a ročním připisování úroků dostaneme po roce spoření z jedné stokoruny úrok 12 korun. Pokud by se ale úroky připisovaly každý měsíc, bude výsledek jiný. Za první měsíc budou úroky jedna koruna (1/12 ročního úroku) a tato koruna nám zvýší zůstatek na 101 korun. Úrok za druhý měsíc tedy bude o něco vyšší než v měsíci prvním – jedno procento ze zůstatku 101 korun, tedy 1,01 koruny. A tak to půjde dále. Ve třetím měsíci se nám bude úročit 102,1 korun, protože již počítáme nejen úroky z úroků, ale také úroky z úroků z úroků. Takhle to půjde dál a na konci roku budeme mít celkem 112,68 korun. Tedy o celých 68 haléřů více, než při ročním připisování úroků. Pokud si chcete podobný příklad vyzkoušet, můžete použít kalkulačku spoření.

Měsíční připisování úroků nám tedy dá vyšší výsledný úrok. Pokud bychom chtěli dosáhnout stejného výnosu na účtu s ročním připisováním úroků, museli bychom jej úročit vyšší úrokovou sazbou, v našem případě tedy 12,68 %. Tato úroková sazba se nazývá efektivní úroková sazba a říká nám, jakou sazbu by musel mít účet s ročním připisováním úroků, aby celkový úrok byl stejný jako na účtu, u kterého se úroky připisují častěji (měsíčně, čtvrtletně, týdně a podobně).

Pro výpočet efektivní úrokové sazby se dá odvodit jednoduchý vzoreček, který najdete v naší encyklopedii i s kalkulátorem.

1 + i_e = (1 + i/m)^m

Pomocí tohoto vzorce můžeme vypočítat efektivní úrok i_e pro úročení sazbou i s připisováním úroků mkrát do roka.

Co spočítal Bernoulli?

Je tedy zřejmé, že čím častěji připisujeme úrok k zůstatku, tím rychleji naše vklady rostou. Při měsíčním úročení naspoříme o něco více než při úročení ročním. Dalšího nárůstu bychom mohli dosáhnout, pokud bychom připisovali úroky týdně, nebo dokonce každý den. Ale ani tam se nemusíme zastavit. Co kdybychom připisovali úroky každou hodinu? Nebo každou sekundu? Desetinu sekundy? Co by se stalo, kdybychom připisovali úroky každou milisekundu? Stali by se z nás milionáři?

Tímto problémem se v roce 1683 zabýval švýcarský matematik a fyzik Jacob Bernoulli Pokud se vám při vyslovení jména Bernoulli vybaví Bernoulliho rovnice (popisující proudění kapalin), pak jste na správné stopě. Bernoulliho rovnici odvodil Daniel Bernoulli, synovec Jacoba Bernoulliho. . Nebyl troškař a položil si otázku, kolik si naspoříme za jeden rok, pokud roční sazba bude 100 % a úroky se budou připisovat k jistině v nekonečně krátkých intervalech. To ovšem znamenalo vypočítat hodnotu výrazu

( 1 + 1/m ) ^m

pro nekonečně velké m. Na první pohled se zdá, že to není žádný velký problém. Z vedlejší tabulky vidíme, že když budeme dosazovat stále vyšší a vyšší čísla, bude se číslo měnit stále méně a méně. Vidíme, že hodnota výrazu pro sto tisíc je na prvních čtyřech místech za desetinnou čárkou stejná, jako pro milion. Matematik ale potřebuje mít jistotu. Příroda je totiž zákeřná a mohlo by se stát, že od nějakého hodně vysokého čísla m hodnota celého výrazu začne nečekaně rychle narůstat. Cesta do nekonečna může skrývat různá úskalí.

Bernoullimu se pomocí binomické věty podařilo dokázat, že hledaný výraz bude mít v nekonečnu hodnotu mezi 2,5 a 3. Bernoulli sice nenalezl přesnou hodnotu, ale ukázal, že i při spojitém úročení, kdy připisujeme úroky v nekonečně krátkých časových intervalech, není úrok nekonečně vysoký. To je sice špatná zpráva pro spořící klienty, ale dobrá pro ty, kdo splácejí úvěr.

Co na to Euler?

Ukázalo se, že celá řada matematických úloh vede ke stejnému číslu, které se v roce 1683 pokoušel určit Bernoulli. Největší díl práce v této oblasti odvedl Leonhard Paul Euler, švýcarský matematik, a fyzik. Za zmínku možná stojí, že Euler pracoval po určitou dobu na ruské akademii věd v Petrohradě, a to na doporučení Daniela Bernoulliho, který byl synovcem Jacoba Bernoulliho.

Euler ukázal, že výraz zkoumaný Bernoullim vede ke stejnému číslu, jako nekonečná řada

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

a jako první toto číslo označil písmenem e. Jako první také použil číslo e jako základ přirozeného logaritmu a ukázal na vztah mezi goniometrickými funkcemi a komplexní exponenciální funkcí e^ix (kde i tentokrát není úroková sazba, ale imaginární jednotka). Vzhledem k tomu, jak intenzivně se Euler tímto číslem zaobíral, se brzy začalo číslu e říkat Eulerovo číslo. Euler byl velmi blízko důkazu, že e je číslo iracionální (nedá se vyjádřit jako podíl dvou celých čísel) a spočítal jeho hodnotu s přesností na 18 desetinných míst.

Dnes je hodnota Eulerova čísla spočítána na tisíce desetinných míst a každý středoškolák si pamatuje alespoň prvních několik číslic e ≈ 2,718. Je zajímavé, že není úplně jasné, proč se pro označení Eulerova čísla ujalo právě písmeno e. Na první pohled to sice vypadá logicky, jako že jde o iniciálu objevitele, ale stejně tak vypadá logicky vysvětlení, že pojmenování pochází od slova exponenciála (e^x). Nicméně logický je i závěr, že obě vysvětlení nebudou platná. V okamžiku, kdy Euler ve své práci poprvé použil písmeno e, nemohl vědět, jaké důležitosti toto číslo nabude a na souvislost s exponenciálními funkcemi došel také až po určité době. Proč použil právě e se tedy neví. Ale je docela dobře možné, že to byla první „volná“ samohláska, kterou měl tehdy právě po ruce (písmeno a již ve své práci použil pro označení něčeho jiného).

Z tohoto zajímavého příběhu tedy vyplývá, že pokud vložíme do banky jeden basilejský tolarV roce 1683 žil Bernoulli v Basileji, kde přednášel mechaniku na univerzitě. na 100% úrok, pak i když přemluvíme svého bankéře, aby nám úroky připisoval v nekonečně krátkých intervalech, za rok si odneseme „pouze“ 2,718 tolaru. Je to sice pěkné zhodnocení, ale vzhledem k nekonečně častému připisování úroků by jeden čekal víc. Zbohatnout se na tom tedy nedá, ale když pak cestou z banky potřebujete znát hodnotu Eulerova čísla, stačí se podívat do peněženky.

Autor: Petr Kielar